Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})\) d’unité \(1\) \(\text{cm}\), on considère les points suivants : \(J(12; 12; 8)\), \(K(8; 20; 8)\), \(L(-36; -12; -28)\)

Dans la suite, \(T\) désigne le point de coordonnées \((11; -2; 0)\).

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\(V = \frac{1}{3} B \times h\) où \(B\) désigne l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondante.

Dans un repère orthonormé \((O; I; J; K )\), on considère les points

• \(E \left(-11\ ;-14\ ;5\right) \)
• \(F \left(-14\ ;-14\ ;5\right) \)
• \(W \left(7\ ;42\ ;-33\right) \)
• \(X \left(7\ ;14\ ;-14\right) \)

Un point \(A\) se déplace sur la droite \(( E F )\) dans le sens de \( E \) vers \( F \)
Un point \(B\) se déplace sur la droite \(( W X )\) dans le sens de \( W \) vers \( X \)
À l'instant \(t=0\) le point \( A \) est en \( E \) et le point \( B \) est en \( W \).
On note \( A_{t} \) et \( B_{t} \) les positions des points \( A \) et \( B \) au bout de \(t\) secondes, \(t\) désignant un nombre réel positif.

On admet que \( A_{t} \) et \( B_{t} \) ont pour coordonnées respectives \(\left(-11 -3t\ ;-14\ ;5\right)\) et \(\left(7\ ;42 -28t\ ;-33 + 19t\right)\).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

On considère les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) telles que :
Pour tout entier naturel \( n \), \[ u_n = 4 - \left(\dfrac{1}{8}\right)^{n} \] \[ v_n = 4 + \left(\dfrac{1}{9}\right)^{n} \] On considère de plus une suite \( (w_n) \) qui, pour tout entier naturel \( n \), vérifie \( u_n \leq w_n \leq v_n \).

• ALa suite \( (w_n) \) est croisssante
• BLa suite \( (v_n) \) est minorée par \( 4 \)
• C\( (w_n) \) converge vers \( 4 \)
• D Les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) sont ni géométriques ni arithmétiques

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = \left(4x -4\right)e^{-2x^{2} -1} \]

On considère une fonction \( h \) continue sur l’intervalle \( \left[ -9 ; 4 \right] \) telle que \[ h(-9) = 1 \quad h(- \dfrac{5}{2}) = 6 \quad h(4) = 1 \]

• ALa fonction \( h \) est croissante sur l’intervalle \( \left[ -9; - \dfrac{5}{2} \right] \).
• BIl existe au moins un nombre réel \( a \) dans l’intervalle \( \left[ - \dfrac{5}{2}; 4 \right] \) tel que \( h(a) = 4 \).
• CL’équation \( h(x) = 2 \) admet exactement deux solutions dans l’intervalle \( \left[ -9; 4 \right] \).
• DLa fonction \( h \) est positive sur l'intervalle \( \left[ -9; 4 \right] \)

On suppose que \( g \) est une fonction dérivable sur l’intervalle \( \left[ −4; 4\right] \). On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée \( g′ \).

• A\( g \) est décroissante sur l’intervalle \( \left[ 1; 2 \right] \).
• B\( g \) est convexe sur l’intervalle \( \left[ -4; -2 \right] \).
• C\( g \) admet un minimum en \( 1 \).
• D\( g \) admet un maximum en \( 4 \).

Partie 2 : Variable aléatoire

Dans une autre école, la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à \( 0,18 \). On considère un échantillon de dix-neuf candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par \( X \) la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les dix-neuf tirés au sort. On admet que la variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale.

Un lycée présente \( n \) candidats au recrutement dans cette école, où \( n \) est un entier naturel non nul.
On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à \( 0,18 \) et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants :
\[ A\left(3;-1;-2\right), B\left(-3;0;2\right), C\left(-4;1;2\right), D\left(-3;5;-2\right) \text{ et } H\left(-2;-1;2\right) \]

On suppose que le plan \( (EFG) \) a pour équation cartésienne \( x -6y + 4z -12 = 0 \).