Annales et exercices Bac
Préparation au Bac - Mathématiques Spécialité
Exemple d'exercice parmi les 30 exercices du chapitre
Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de
déterminer pour quel angle de tir \(\theta\) par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne
dépasse pas \(1\mbox{,}40\:\text{m}\).
Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air, mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n'est
pas adopté.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe
représentative de la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(\left[0; \dfrac{1}{2}\right[\) par :
\[ f(x) = bx + \operatorname{ln}\left(1 -2x\right) \]
où \(b\) est un paramètre réel supérieur ou égal à \(2\), \(x\) est l'abscisse du projectile,
\(f(x)\) son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.
1. La fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(\left[0; \dfrac{1}{2}\right[\). On note \(f'\) sa
fonction dérivée.
On admet que la fonction \(f\) possède un maximum sur l'intervalle \(\left[0; \dfrac{1}{2}\right[\) et que,
pour tout réel \(x\) de \(\left[0; \dfrac{1}{2}\right[\) :
\[ f'(x) = \dfrac{-2 + b -2bx}{1 -2x} \]
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \(\{1; 3\}\) ou \([2; 4[\), avec une précision au dixième.
L'angle de tir \(\theta\) correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction \(f\) au point d'abscisse \(0\) comme indiqué dans le schéma donné ci-dessus.
Déterminer une valeur arrondie au dixième de degré près de l'angle \(\theta\).
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